Hypothèses : naissances uniformément réparties sur l'année, sans 29 février (365 dates), personnes sans lien entre elles. En réalité les naissances ne sont pas parfaitement uniformes, ce qui augmente légèrement la probabilité.
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Combien faut-il de personnes pour que deux partagent le même anniversaire ? Calculez la probabilité exacte pour la taille de groupe de votre choix.
Par Jimenez Julien, éditeur de Floobits.com · mis à jour le
Hypothèses : naissances uniformément réparties sur l'année, sans 29 février (365 dates), personnes sans lien entre elles. En réalité les naissances ne sont pas parfaitement uniformes, ce qui augmente légèrement la probabilité.
Le paradoxe des anniversaires est un résultat contre-intuitif de probabilités : dans un groupe de seulement 23 personnes, la probabilité que deux d'entre elles soient nées le même jour dépasse 50 %. Ce n'est pas un paradoxe logique mais une surprise, car on pense spontanément à la probabilité de partager SON anniversaire, bien plus faible, alors qu'il s'agit ici de n'importe quelle paire du groupe.
Le calcul passe par l'événement contraire : aucune date n'est partagée. La première personne a 365 dates possibles sur 365, la deuxième 364 sur 365, la troisième 363 sur 365, et ainsi de suite. On multiplie ces fractions pour obtenir la probabilité d'avoir toutes les dates différentes, puis on la retranche de 1. Le nombre de paires possibles croît comme n(n-1)/2, ce qui explique la rapidité de la progression : 253 paires pour 23 personnes.
L'outil permet de modifier le nombre de dates possibles, par exemple pour un jeu de 10 000 numéros, et de comparer avec une simulation de 20 000 groupes tirés au hasard. Cette même logique de collision s'applique en informatique, notamment pour évaluer le risque que deux identifiants ou deux empreintes numériques soient identiques.
Parce que le nombre de paires est de 253, et que chaque paire a une chance sur 365 de partager la même date. Ces chances cumulées dépassent 50 %.
Avec 366 personnes la certitude est atteinte (principe des tiroirs), 367 si l'on compte le 29 février. Dès 70 personnes, la probabilité dépasse déjà 99,9 %.
Non, elle fluctue légèrement autour de la valeur exacte, comme tout tirage aléatoire. Avec 20 000 groupes, l'écart reste de l'ordre d'un pour cent.